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Dernier théorème de Fermat

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Le Dernier théorème de Fermat (aussi appelé Grand théorème de Fermat) est une propriété algébrique formulée par Pierre de Fermat en 1637.

Ce n'est qu'après sa mort qu'on a retrouvé son énoncé écrit dans la marge de son exemplaire de "l’Arithmétique" de Diophante, révisée et éditée par Bachet. La note disait ceci :

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum, potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere. Cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Ce qui se traduit par :

On ne peut exprimer un cube comme une somme de deux cubes, un bicarré comme une somme de deux bicarrés, et plus généralement une puissance parfaite comme une somme de deux mêmes puissances. J'en ai découvert une démonstration tout à fait remarquable. Mais ma marge est trop étroite pour la contenir.

Ecriture scientifique moderne :

Si n est un entier strictement supérieur à 2, on ne peut pas trouver trois nombres entiers x, y et z non nuls tels que xn + yn = zn

Selon Jean-Luc Picard, un grand nombre de personnes ont essayé en vain de démontrer la propriété depuis 800 ans, y compris lui-même, comme passe-temps. Picard trouvé ce problème stimulant, et a noté qu'il mettait les choses en perspective en montrant que "dans notre arrogance, nous nous sentons tellement avancés et pourtant nous ne pouvons pas défaire un noeud simple fait par un mathématicien français à temps partiel qui travaillait seul, sans ordinateur." (TNG: "The Royale")

Jadzia Dax indiqua que l'un de ses hôtes précédents, Tobin Dax, avait trouvé "l'approche la plus originale pour le démontrer depuis Wiles plus de 300 ans auparavant." (DS9: "Facets")

Coulisses Modifier

L'épisode "The Royale" date de 1989, six ans avant que Andrew Wiles ne publie sa démonstration définitive du théorème en 1995. Andrew Wiles avait publié une première démonstration en 1993 qui s'était avérée incomplète.

Fermat étant un mathématicien "amateur" (il était juriste de profession), il ne fournissait pas souvent les preuves de ses théorèmes. Certains se révélèrent d'ailleurs faux. Il s'amusait en général à lancer des défis aux autres mathématiciens de son époque (surtout les Anglais). Il y a un grand doute aujourd'hui sur le fait qu'il ait réellement trouvé la démonstration de son grand théorème. Dans tous les cas, ce ne peut pas être celle fournie par Wiles qui utilise des techniques mathématiques très éloignées de l’arithmétique (conjecture de Taniyama-Shimura sur la correspondance entre courbes elliptiques et fonctions modulaires) et fait plus de mille pages.

Le défi de retrouver l'éventuelle preuve de Fermat est donc toujours d'actualité.

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